ОПОРНОЕ ЧИСЛО: умножение двузначных чисел до 100

mozg006Самым эффективным способом умножения в уме больших чисел считается методика опорного числа. После того, как вы освоите его – возможности вашего интеллекта станут безграничны

В предыдущей статье, когда была продемонстрирована системы умножения чисел до 20, мы фактически использовали 10 – своеобразное опорное число.
Основные закономерности применения опорного числа

Основные закономерности применения опорного числа

Наибольшая польза применения опорного числа достигается при попытке находящихся близко друг к другу чисел, а также при необходимости возвести некоторое число в квадрат. Сущность применения такой методик подсчета подробно описывалась в ЭТОЙ статье, теперь же постараемся пересказать только самое существенное.

При умножении X на Y опорным для них будет такое число, с которым наиболее близко соседствуют и тот и другой множители. Если привести пример, то в процессе умножения двух двузначных чисел в качестве своеобразной опоры имеет смысл использовать кратные 10 числа (100, 50, 40, 20 и 10 особенно).

На применение способа опорного числа во много влияет тот факт - являются ли оба множителя (или один из них) меньше (или наоборот больше) числа, на которое опираемся. В связи с этим возможные следующие варианты умножения.

1. Если опорное число больше обоих множителей

Например, нужно умножить 98 и 97. Так как оба числа находятся буквально «впритык» к 100, то, как опорное, лучше его и взять
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

  1. От 97 отнять ровно столько, сколько не достает 98, чтобы достичь 100. Речь идет о числе 2. После нехитрой операции получаем 95 (можно, кстати, пойти альтернативным методом и от 48 отнять 3-ку – разницы особой не будет)
  2. Полученное число – 95 умножаем на опорное число 100 и получаем = 9500
  3. Ну и завершающий штрих: добавляем к такому результату 3 помноженное на 2 (это разница обоих чисел при вычете их из опорного числа)
  4. В результате получаем – 9506! (можете проверить по калькулятору!)

Схематично в уме удобно представлять приведенную ниже табличку.

100

«опорное число»

97

*

98

(97-2)*100 = 95*100 =9500

(или (98-3)*100 = 95*100

 

3

*

2

прибавляем 6

Итого:

     

9500 + 6 =9506

Вот как мы наполняли представленную выше таблицу. Слева от произведения написали опорное число. Так как в нашем случае все числа меньше, чем опорное, то разница между опорным числом и ними заносится строго под этими числами. Справа же от 97*98 вписываем расчет, произведенный с опорным числом. В правой ячейке от «остатков» 3 и 2 заносим их произведение.

Упрощенная схема умножения без таблицы записывается таким образом: 98*97=95*100 + 6= 9506

А вот другие примеры:

Умножаем 98*95

50

«опорное число»

48

*

45

(45-2)*50 =2150

 

2

*

5

прибавляем 10

Итого:

     

2160

Решение одной строкой:48*45 = 50*43 + 10 = 2160

Умножаем 39*38

40

«опорное число»

39

*

38

(38-1)*40 =1480

 

1

*

2

прибавляем 2

Итого:

     

1482

Решение одной строкой:39*38 = 40*37+2 = 1482

Умножаем 97*73

100

«опорное число»

97

*

73

(73-3)*100 =7000

 

3

*

27

прибавляем 81

Итого:

     

7081

Решение одной строкой:97*73 = 100*70 + 81 = 7081

2. Если опорное число меньше обоих множителей

Например, нужно нам перемножить 55 и 54. И то и другое число располагаются неподалеку от 50, а значит в качестве опорного числа удобнее и быть не может. Если раньше мы рассматривали примеры, когда числа были меньше опорного, то в данном случае все наоборот. Однако пугаться не стоит, так как модель их умножения сохранится. Только теперь придется не отнимать остатки, а наоборот – добавлять их.

  1. К 55 нужно добавить такое число, на которое 54 больше 50-ти. Добавляем 4 и получаем 59 (можем пойти по обратному пути и к 54 прибавить 5 – разницы особой не будет)
  2. Потом 59 перемножаем на 50 и получаем 2950
  3. Ну и остается последний штрих: умножаем 5 и 4, чтобы добавить к 2950

В вот результат: 2970

 

5

*

4

прибавляем 20

50

«опорное число»

55

*

54

(55+4)*50 =2950

или (54+5)*50 = 59*50

Итого:

     

2970

Решение в одну строчку выглядит следующим образом: 50*59+20 = 2970

А вот другие примеры:

Умножаем 22*26

 

2

*

6

прибавляем 12

20

«опорное число»

22

*

26

(22+6)*20 =560

Итого:

     

572

Решение одной строкой: 22*26 = 20*28 + 12 = 572

Умножаем 52*65

 

2

*

15

прибавляем 30

50

«опорное число»

52

*

65

(65+2)*50 =3350

Итого:

     

3380

Решение одной строкой: 52*65 = 67*50 + 15 = 3380

3. Если одно из чисел больше опорного, а другое меньше

Вот и подошли мы к последнему из возможных вариантов применения опорного числа при умножении. Такие задачи, когда одно число меньше опорного, а другое больше – только кажутся сложными. На самом деле в них действуют все те же элементарные принципы.

  1. Постараемся умножить 46 на 53. Выглядеть это будет так:
  2. Из 53 вычитаем 4 (ровно столько, сколько не хватает 46, чтобы добраться до расположенного НАД ним опорного числа) или к 46 прибавляем 3 (именно столько нужно вычесть из 53, чтобы добраться до расположенного ПОД ним опорного числа). В любом из этих случаев получаем цифру 49
  3. Потом 49 умножаем на 50 м получаем 2450
  4. Ну и напоследок вычитаем продукт умножения 4 и 3 (НЕ прибавляем, как было ранее!)

В результате имеем 2438

 

   

3

 

50

«опорное число»

46

*

53

(46+3)*50 =2450

 

4

 

 

вычитаем 12

Итого:

     

2438

Решение одной строкой: 46*53 = 49*50-12 = 2438

А вот другой пример:

Умножаем 92*104

 

   

4

 

100

«опорное число»

92

*

104

(92+4)*100 =9600

 

8

 

 

вычитаем 28

Итого:

     

9628

Решение одной строкой: 92*104 = 96*100-28 = 9628

4. Когда одно число близко к опорному, а другое далеко от него

Уже рассмотренные примеры показали, что особенно удобно пользоваться опорным числом даже тогда, когда только один из множителей близок к нему. Тем не менее было бы неплохо подбирать такие опорные числа, чтобы разница с ним составляла не более 3-x. А еще было бы лучше, если б она равнялась числу, с котором удобно решать задачи на умножение (имеются ввиду числа по типу 25, 10 или 5). Однако не всегда желаемое является действительным. Постараемся порешать примеры более сложноые.

Умножаем 49*74

 

   

24

 

50

«опорное число»

49

*

74

(74-1)*50 =3650

 

1

 

 

вычитаем 24

Итого:

     

3626

Решение одной строкой: 49*74 = (74-1)*50 – 24*1 = 3626

Умножаем 22*68

 

2

 

48

96

20

«опорное число»

22

*

68

(2+68)*20 =1400

Итого:

     

1496

Решение одной строкой: 22*68 = (2+68)*20 + 96 = 1496 - чуть сложнее

Умножаем 97*42

100

«опорное число»

97

*

42

(42-3)*100 =3900

 

3

*

58

прибавляем 174

Итого:

     

4074

Решение одной строкой: 97*42 = 100*(42-3) + 174 = 4074

Со временем, если потренироваться, вы научитесь неплохо умножать, используя такие опорные числа, как 80, 70, 60, 40 или 30. Когда это произойдет (а без небольшой практики в этом вопросе не обойтись), вы приобретете полезнейший навык совершать умножение чисел до 100 и больше.

5. Применение сразу двух опорных чисел

Умножать можно, используя два опорных числа одновременно. Порою это можно сделать для удобства, особенно такой финт актуален при задаче выразить опорное число одного множителя через опорное число другого. Так при умножении 88 и 23 имеет смысл использовать опорное число 80 для 88 и 20 для 23. Почему нужно использовать сразу два опорных числа? Да дело в том, что 20 это в действительность 80 деленное на 4.

Способ сразу двух опорных чисел характерен тем, что первым делом нам следует разделить 88 на 4. Получив таким образом 22, умножаем это число на 23 (второе участвовавшее в умножении число), то, что получится, умножаем 4. Иными словами, первым делом мы разделили произведение на 4-ку, и затем умножили результат на туже 4-ку. Вот решение одной строкой: 22*23=250*2+6=506. И последний штрих 506 умножаем на 4 и получаем 2024. Вот и вся наука!

Для лучшего понимания описанной выше схемы пройдемся по привычной для нас схеме из нескольких пунктов. Итак, когда нужно умножить 88 на 23, мы поступаем следующим образом:

  • Заносим в таблицу «20» - очень красивое опорное число, добавив рядышком множитель 4 (именно посредством мы выразим опорное число 80 через 20).
  • А потом по заведенному распорядку. Пишем в соответствующую ячейку таблицы «3» - это то, насколько 23 превышает опорное число 20. Тоже самое проделываем с числом 88 по отношению к 80 (в данном случае разница ровно 8).
  • Над 3-ой вставляем произведение 3-х и 4-х (на множитель опорного умножаем число три).
  • Затем к 88 добавляем полученное произведение 3-х и 4-х, совершаем умножение полученного результата на опорное число 20. Имеем 100*20, а это у нас - 2000
  • Под конец к 2000 подставляем полученный при умножении 3-ки и 8-ки результат. Итого: 2024

 

   

3*4=12

 

 

8

*

3

добавляем 24

20*4

«опорное число»

88

*

23

(88+12)*20 =2000

Итого:

     

2024

Решение одной строкой:88*23=(88+3*4)*20+24=2024

Напоследок умножим 88 на 23 с помощью других опорных чисел. Для числа 88 пусть это будет 100, а для 23-х - 25. В таком случае 100 - основное опорное числом, при этом 25 мы представляем в таблице вот таким образом: 100:4 = 25

100:4

«опорное число»

88

*

23

(23-3)*100 =2000

                                          

 

12

 

2

добавляем 24

 

12:4=3

     

Итого:

     

2024

Решение одной строкой: 88*23=(23 - 12:4)*100+24=2024

Рассмотрев два представленных выше примера, резюмируем: опорные числа разные, но результат один и тот же.

Конечно, применение сразу 2-х опорных чисел – задача более сложная, чем одного, так как для осуществления нужно осуществлять дополнительные операции. С одной стороны, от вас требуется понять, какие два опорных числа подойдут вам больше всего. С другой - следует организовать определенные измышления, чтобы обнаружить для умножения на опорное необходимое число. Так что к работе сразу с двумя опорными числами лучше прибегайте в том случае, когда неплохо освоили работу с одним из них.

Хитрости умножения в уме любых чисел до 100
Теперь, когда мы разобрали с вами теорию опорных чисел, важно бегло отметить другие математические полезные приемы, которые могут помочь вас существенным образом облегчить задачу умножения в уме. О них подробнее можно прочесть, перейдя по ссылкам ниже

 

 

Похожие статьи